Аналітична геометрія на площині


Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

Y = k × x + b (2.3)

Де k=tg a – нахил цієї прямої до осі O X (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b ) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y y

B

b

X 1350x x x

A

а б в г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C = 0 (2.2)

Якщо B ¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y =1-x та 2x – y +2=0. У першому прикладі k=tg a = -1, отже a=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y =2x +2 , отже, k=tg a = 2 (рис. 2.4,б).

y y

2x – y +2=0

Y =1-x 2

1

A=1350

1 x -1 x

а б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x 1 ;y 1 ) та (x 2 ;y 2 ):

, (2.3)

Або, що те саме,

. (2.3¢)

Пряма, яка проходить через задану точку (x 1 ;y 1 ) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

Y-y 1 =a (x-x 1 ) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x1 ;y1 ) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y +2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2x+y =2,

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Y =2x +2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x 1 ;y 1 )=(-1;0) та (x 2 ;y 2 )=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y =a 1x +b 1 та y =a2x +b 2 обчислюється за формулою

Прямі y =a 1x +b 1 та y =a 2x +b 2 отже, є паралельними, якщо a 1 =a 2 , та перпендикулярними, якщо a 1 ×a 2 = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M (x 1 ;y 1 ) до прямої Ax+By+C =0 визначають за формулою

.

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q )=500-10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p =p (Q )=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

P

500

Пропозиція

P *

Попит

50

Q *Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p * (а також рівноважний випуск Q * ) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p * =200 та Q * =30 .

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p =10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V c =5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F c =40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

T c = F c + Q × V c = 40+5Q.

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

T R = p ×Q =10Q.

Визначимо такий випуск Q * , за якого доход фірми збігається з її витратами:

T R = T C,

10Q = 40+5Q,

Q * = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q * >8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

T c, T R

T R (доход)=10Q

T c (витрати)=40+5Q

40

Q * =8 Q

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x 2 і/або y 2 .

Рівняння кола з центром у точці (a ;b ) та радіусом r має вигляд

(x-a )2 +(y-b )2 =r 2 .

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

X 2 +y 2 =r 2 .

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A (x;y )

C

F 1F 2

Рис. 2.7.

Точки F 1 (-c ;0) та F 2 (c ;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

– для довільної точки A на еліпсі ;

– c 2 =a 2 – b 2 .

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y ), для яких різниця відстаней до фокусів F 1 та F 2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

– для довільної точки A на гіперболі ;

– c 2 =a 2 +b 2 .

Y

A (x ;y )

X

F 1 (-c ;0) F 2 (c ;0)

Рис. 2.8.

Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):

Y = 2px

B A (x ;y )

P /2 p /2

F

Рис. 2.9.

Тут для довільної точки A (x ;y ) параболи y = 2px виконується рівність, де – відстань від точки A до прямої.



Зараз ви читаєте: Аналітична геометрія на площині