Бульові функції


Реферат

На тему:

Бульові функції

1. Алгебри бульових виразів і бульових функцій

7.1.1. Основні поняття

Множину {0, 1} позначимо літерою B. Множину всіх можливих послідовностей з 0 і 1 – Bn. Такі послідовності за традицією будемо називати наборами або векторами довжини n. Очевидно, Bn містить 2n елементів. Значення 0 і 1 називаються протилежними одне до одного.

Означення. Всюди визначена функція з Bn у B називається n-місною функцією алгебри логіки або n-місною бульовою функцією.

Послідовність змінних (x1 , x2 , …, xn ) із значеннями у B позначимо. Бульова функція f() задається у вигляді таблиці, або графіка зі стандартним розташуванням наборів:

x1 , x2 , …, xnf(x1 , x2 , …, xn )
0, 0, …, 0, 0F(0, 0, …, 0, 0)
0, 0, …, 0, 1F(0, 0, …, 0, 1)
0, 0, …, 1, 0F(0, 0, …, 1, 0)
0, 0, …, 1, 1F(0, 0, …, 1, 1)
0, 1, …, 1, 1F(0, 1, …, 1, 1)
1, 0, …, 0, 0F(1, 0, …, 0, 0)
1, 1, …, 1, 0F(1, 1, …, 1, 0)
1, 1, …, 1, 1F(1, 1, …, 1, 1)

Зауважимо, що в стандартному розташуванні набори можна розглядати як двійкові записи послідовних чисел від 0 до 2n -1. Функцію, задану зі стандартним розташуванням наборів, можна ототожнити з набором довжини 2n. Наприклад, двомісну функцію, задану таблицею

x yf(x, y)
0 01
0 10
1 01
1 11

Можна ототожнити з вектором (1011).

Далі іноді будемо позначати n-місну функцію f() як f(n) (), підкреслюючи кількість змінних, від яких вона залежить.

Очевидно, що множина всіх можливих наборів довжини 2n, тобто множина n-місних бульових функцій, складається з 22n елементів. При n=0 це 2, при n=1 – 4, при n=2 – 16, при n=3 – 256 тощо.

Нуль-місними функціями є сталі 0 і 1.

Одномісні функції подано у наступній таблиці разом з виразами, якими ці функції позначаються:

x01xØx
00101
10110

Функції 0 і 1 називаються тотожними нулем і одиницею, функція x – тотожною, Øx – запереченням. Замість виразу Øx вживається ще вираз. Ці вирази читаються як “не x”.

Подамо також деякі з 16 двомісних функцій разом із їх позначеннями:

x yx Ùyx Úyx ®yx “yx Åyx | yx ¯y
0 00011011
0 10110110
1 00100110
1 11111000

Функція, позначена виразом xÙy, називається кон’юнкцією і позначається ще як x&;y, x×y або xy. Усі ці вирази читаються як “x і y”.

Функція, позначена виразом xÚy, називається диз’юнкцією. Вираз читається як “x або y”.

Функція, позначена виразом x®y, називається імплікацією і позначається ще як xÉy. Ці вирази читаються як “x імплікує y” або “з x випливає y”.

Функція, позначена виразом x”y, називається еквівалентністю і позначається ще як x~y або xºy. Ці вирази читаються як “x еквівалентно y”, що в даному випадку збігається з “x дорівнює y”.

Функція, позначена виразом xÅy, називається додаванням за модулем 2 або “виключним або “. Зауважимо, що її значення є протилежними до значень еквівалентності.

Функція, позначена виразом x|y, називається штрихом Шеффера і має значення, протилежні значенням кон’юнкції. Її вираз читається як “не x або не y”.

Функція, позначена виразом x¯y, називається стрілкою Пірса і має значення, протилежні значенням диз’юнкції. Її вираз читається як “не x і не y”.

Зауважимо, що інфіксні позначення наведених функцій вигляду x f y, де f – відповідний знак, склалися історично. Їх так само можна позначати й у вигляді f(x, y), наприклад, Ù(x, y).

З тримісних функцій наведемо лише так звану функцію голосування m(x, y, z), графік якої має такий вигляд:

x y zm(x, y, z)
0 0 00
0 0 10
0 1 00
0 1 11
1 0 00
1 0 11
1 1 01
1 1 11

Її назва зумовлена тим, що її значення на кожному наборі збігається з більшістю значень змінних у цьому наборі.

Множину всіх n-місних функцій позначимо P(n) , а множину всіх функцій, тобто об’єднання P(n) по всіх n – P2 .

Перейдемо до означення таких понять, як алгебра бульових функцій і алгебра формул.

Алгебри бульових функцій, як і всі інші алгебри, визначаються своїми носіями та сигнатурами операцій. Носіями в алгебрах бульових функцій є множини функцій. Сигнатуру складає операція суперпозиції, або підстановки.

Означення. Нехай є n-місна функція f(n) () і n функцій g1 (y1,1 , y1,2 , …, y1,m1 ), g2 (y2,1 , y2,2 , …, y2,m2 ), …, gn (yn,1 , yn,2 , …, yn, mn ), залежні від змінних з деякої їх множини Y={y1 , y2 , …, yk }. Суперпозицією, або підстановкою функцій g1 , g2 , …, gn у функцію f(n) називається функція h(m) (y1 , y2 , …, ym ), кожне значення якої h(a1 , a2 , …, am ) визначається як

F(n) (g1 (a1,1 , a1,2 , …, a1,m1 ), g2 (a2,1 , a2,2 , …, a2,m2 ), …, gn (an,1 , an,2 , …, an, mn )).

Суперпозиція ще позначається як

S(f(n) ; g1 (y1,1 , y1,2 , …, y1,m1 ), g2 (y2,1 , y2,2 , …, y2,m2 ), …, gn (yn,1 , yn,2 , …, yn, mn )).

Приклади.

1. h1(x, y, z)=S(Ù; xÚy, y®z) задається наступною таблицею:

x y zx Úyy ®zh1(x, y, z)
0 0 0010
0 0 1010
0 1 0100
0 1 1111
1 0 0111
1 0 1111
1 1 0100
1 1 1111

2. h2(x, y)=S(Ù; xÚy, y®x) задається таблицею:

x yx Úyy ®xh2(x, y)
0 0010
0 1100
1 0111
1 1111

Нехай є множина бульових функцій F. Утворюючи з них та їх суперпозицій усі можливі суперпозиції, ми одержимо множину функцій, яку позначимо [F]. Отже, маємо алгебру ([F]; S), породжену множиною функцій F. Інша множина функцій F1 буде породжувати, взагалі кажучи, іншу алгебру ([F1 ]; S). Наприклад, алгебри ([{(0111), (0001)}]; S) і ([{(10), (0001)}]; S).

Розглянемо тепер поняття алгебри формул (термів, або виразів ). Нехай є множина функцій F. Кожній n-місній функції з F поставимо у взаємно однозначну відповідність символ, що її позначає (функціональний символ ) f(n) . Нехай X – зліченна множина змінних (точніше, їх імен).

Означення.

1. Ім’я змінної є формулою.

2. Якщо f(n) – функціональний символ, а T1 , T2 , …, Tn є формулами, то f(n) ( T1 , T2 , …, Tn ) є формулою.

3. Інших формул немає.

Це означення задає множину формул із функціональними символами з множини F, які одержуються за допомогою підстановок, тобто суперпозицій. Таким чином, ми маємо алгебру формул, породжену множиною функціональних символів F. Інша множина функціональних символів буде породжувати й іншу алгебру формул.

Зв’язки між алгебрами функцій і алгебрами формул встановлюють наступні два означення.

Означення. Значенням формули T на наборі значень змінних з множини X є:

1) значення змінної x, якщо T є змінною x;

2) f(n) (a1 , a2 , …, an ), якщо T=f(n) (T1 , T2 , …, Tn ), а формули T1 , T2 , …, Tn мають на цьому наборі значення відповідно a1 , a2 , …, an.

Означення. n-місна бульова функція f(n)задається формулою T, якщо всі змінні у формулі T є змінними з множини X, і при будь-якому наборі значень (a1 , a2 , …, an ) цих змінних x1 , x2 , …, xn значення формули дорівнює значенню f(n) (a1 , a2 , …, an ).

Звідси випливає інше означення суперпозиції функцій.

Означення. n-місна бульова функція f(n) є суперпозицією функцій f1 , f2 , …, fn, якщо її можна задати формулою, усі функціональні символи якої є серед символів функцій f1 , f2 , …, fn.

З наведених прикладів 1 і 2 видно, що функція h1(x, y, z) задається формулою Ù(Ú(x, y), ®(y, z)), або в інфіксному записі (xÚy)Ù(y®z). Аналогічно функція h2(x, y) задається формулою Ù(Ú(x, y), ®(y, x)), або (xÚy)Ù(y®x). Як бачимо, обидві функції задаються формулами з тими самими функціональними символами Ù, Ú, ®, тобто є суперпозиціями цих функцій.

Наостанок наведемо узгодження, які склалися в математиці й дозволяють у формулах з функціональними символами Ø, Ù, Ú, ®, Å, “, |, ¯ записувати не всі необхідні дужки. ****

Суттєві та несуттєві змінні

Розглянемо поняття суттєвої залежності функції від її змінних. Почнемо з прикладів: значення функції h2(x, y) з прикладу 2 на кожному з наборів збігаються зі значеннями x. Отже, зміна значення y не впливає на значення функції, тобто вона фактично не залежить від y. В той час як зміна значення x веде до зміни значення h2. Уточнимо ці міркування наступними означеннями.

Означення. Змінна xi функції f(n) (x1 , x2 , …, xi, …, xn ) називається суттєвою, якщо існує хоча б одна пара наборів значень змінних

(a1 , a2 , …, ai-1 , 0, ai+1 , …, an ) і (a1 , a2 , …, ai-1 , 1, ai+1 , …, an ),

Така, що

F(n) (a1 , a2 , …, ai-1 , 0, ai+1 , …, an ) ¹ f(n) (a1 , a2 , …, ai-1 , 1, ai+1 , …, an ).

Змінна xi називається несуттєвою у противному разі, тобто коли за всіх можливих пар наборів значень

(a1 , a2 , …, ai-1 , 0, ai+1 , …, an ) і (a1 , a2 , …, ai-1 , 1, ai+1 , …, an )

Мають місце рівності:

F(n) (a1 , a2 , …, ai-1 , 0, ai+1 , …, an ) = f(n) (a1 , a2 , …, ai-1 , 1, ai+1 , …, an ).

Наприклад, неважко переконатися, що всі змінні функції h1 з прикладу 1 є суттєвими. Функція h2 має суттєву змінну x і несуттєву y. Функція двох змінних, задана як вектор (1111), не має суттєвих змінних.

Еквівалентні формули та закони

Одна й та сама бульова функція задається, взагалі кажучи, багатьма різними формулами. Наприклад, неважко переконатися, що формули x®y і ØxÚy обидві задають функцію (1101). Таким чином, можна говорити про еквівалентність цих двох формул.

Означення. Нехай **** Формули F1 і F2 називаються еквівалентними, якщо

2. Бульові функції та комбінаційні схеми

І-елемент АБО-елемент Å-елемент НЕ-елемент

A a a

B r b r b r a r

r = aÙb r = aÚb r = aÅb r = Øa

Розглянемо реалізацію бульових функцій у вигляді комбінаційних схем. Найпростішими з них є логічні елементи, відповідні бульовим функціям: кон’юнкції Ù, диз’юнкції Ú, додавання за модулем 2 Å та заперечення Ø. Вони позначаються й зображаються таким чином:

Входи перших трьох елементів вважаються симетричними згідно законів комутативності, яким задовольняють кон’юнкція, диз’юнкція та додавання за модулем 2.

З наведених логічних елементів будуються складніші схеми, які в загальному випадку мають n входів і m виходів і реалізують набір з m функцій від n аргументів:

A1 b1

A2 b2

.

.

.

An bm

Тут bj =fj (a1 , a2 , …, an ), j=1, 2, …, m..

Приклади.

1. Побудуємо схему з І-, АБО – та НЕ-елементів, яка реалізує функцію Å. Виразимо її за допомогою функцій набору {Ù, Ú, Ø}:

XÅy = xÙØyÚØxÙy.

X

Y

Звідси відповідна схема має вигляд:

2. Побудуємо схему з І – та Å-елементів, яка реалізує функцію Ú. Виразимо її за допомогою функцій набору {Ù, Å, 1}:

XÚy = xÅyÅxÙy.

Звідси відповідна схема має вигляд:

X

Y

3. Побудуємо схему з І-, АБО – та НЕ-елементів, яка реалізує так званий “однорозрядний напівсуматор”[****] з двома симетричними входами x, y і двома виходами: s = xÅy, d = xÙy. З цих формул видно, що схема має реалізувати додавання двох однорозрядних чисел із переносом. Виразимо s за допомогою функцій набору {Ù, Ú, Ø}: s = xÙØyÚØxÙy. Тоді схема має вигляд:

X s

d

Y

3. Замкнені та повні набори функцій. Критерій Поста повноти набору функцій

У підрозділі 7.1 ми побачили, що будь-яку бульову функцію можна задати як суперпозицію функцій з набору {Ù, Ú, Ø} або з набору {Å, Ù, 1}.

Означення. Множина всіх функцій, що є суперпозиціями функцій деякого набору F, і лише їх, називається замиканням цього набору й позначається [F].

Таким чином, якщо P2 позначає множину всіх бульових функцій, то

[{Ù, Ú, Ø}] = [{Å, Ù, 1}] = P2 .

Означення. Множина функцій F називається функціонально повною, якщо [F]=P2 .

Отже, множини {Ù, Ú, Ø} і {Å, Ù, 1} є функціонально повними.

Природним є питання про те, які властивості повинні мати функціонально повні множини функцій.

Видатний математик Еміль Пост сформулював і обгрунтував критерій повноти множини функцій у загальному випадку алгебри функцій з операцією суперпозиції. У цьому критерії, тобто необхідній і достатній умові, використовується поняття передповного класу. Розглянемо його.

Нехай F позначає множину всіх можливих функцій деякої алгебри функцій A з операцією суперпозиції.

Означення. Множина функцій S називається передповним класом алгебри A, якщо [S]¹F і за будь-якої функції f з множини F\S набір SÈ{f} є повним: [SÈ{f}]=F.

Критерій Поста. Нехай S1 , S2 , … – усі передповні класи алгебри функцій F. Множина функцій M є повною тоді й тільки тоді, коли для кожного передповного класу Si множина M містить fÎM\Si.

Приймемо це твердження без доведення.

Пост також дослідив передповні класи алгебри бульових функцій. Їх виявилося лише 5. Це множини всіх функцій:

Що зберігають сталу 0,

Що зберігають сталу 1,

Самодвоїстих,

Лінійних,

Монотонних.

Означимо вказані функції.

Означення. Функція f(n)зберігає сталу 0 , якщо на нульовому наборі має значення 0: f(n) (0, 0, …, 0)=0.

Означення. Функція f(n)зберігає сталу 1 , якщо на одиничному наборі має значення 1: f(n) (1, 1, …, 1)=1.

Наприклад, тотожна функція f(x)=x зберігає сталі 0 і 1, функція f(x)=Øx не зберігає жодної.

****Двоїста до …

Означення. Функція f(n) є самодвоїстою, якщо для всіх пар протилежних наборів вона приймає на них протилежні значення:

F(n) (a1 , a2 , …, an ) = ****f(n) (a1 , a2 , …, an ) зберігає сталу 0, якщо на нульовому наборі має значення 0: f(n) (0, 0, …, 0)=0.

Означення. Функція f(n) зберігає сталу 1, якщо на одиничному наборі має значення 1: f(n) (1, 1, …, 1)=1.

Неважко переконатися, що множини означених функцій, позначені відповідно T0 , T1 , S, L, M, є замкненими класами.

Список рекомендованої літератури

1. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика.-М.: Наука, 1975.

2. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике.-М.: Наука, 1973.

3. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики.-М.: Наука, 1982

4. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра. Языки. Программирование.-К.: Наукова думка, 1988.

5. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика.-М.:Наука, 1979.

6. Карри Х. Б. Основания математической логики.-М.: Мир, 1969.

7. Клини С. К. Математическая логика.- М.: Мир, 1973.

8. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

9. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера.-М.:Энергоатомиздат, 1988.

10. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре.-М.: Наука, 1973.

11. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.-М.: Наука, 1984.

12. Линдон Р. Заметки по логике.- М.: Мир, 1968.

13. Мендельсон Э. Введение в математическую логику.-М.: Наука, 1984.

14. Новиков П. С. Элементы математической логики.-М.: Наука, 1973.

15. Ставровський А. Б., Коваль Ю. В. Методичні рекомендації та вказівки до курсу “Дискретна математика” (розділ “Множини та відповідності”).- К.:”Київський університет”, 1994.

16. Трохимчук Р. М. Збірник задач з дискретної математики (розділ “Множини і відношення”) для студентів факультету кібернетики.-К.:”Київський університет”, 1997.

17. Трохимчук Р. М. Множини і відношення. Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики.-К.:”Київський університет”, 1993.

18. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.

19. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.



Зараз ви читаєте: Бульові функції