Действие физических сил на конструкцию


1. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано: = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНМ; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.

Рис.1. Схема исследуемой конструкции.

Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

Рис.2.

(1)

Где КН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:

КН (1′)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):

Рис. 3.

.

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (1′) найдем значение :

кН.

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН.

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.

Рис. 4

Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1′) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).

Рис. 5

Составим уравнение равновесия:

И из уравнения (1′) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

кН.

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)

,

кН.

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН* м

кН

; кН

Результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Силы, кНМомент, кН* м
XAYARAXCXBYBMC
Для схемы на рис. 2-7,5-18,419,9
Для схемы на рис. 4-14,36-11,0917,35-28,828,812,0-17,2

2. Определение реакций опор твердого тела

Задание: Найти реакции опор конструкции. Схема конструкции показана на рисунке 1. Необходимые данные для расчета приведены в таблице 1.

Табл. 1

Силы, кНРазмеры, см
ABCRR
21151020205

Рис. 1. Здесь: , , , .

Решение: К конструкции приложены сила тяжести , силы и реакции опор шарниров и : (рис. 2)

Рис. 2.

Из этих сил пять неизвестных. Для их определения можно составить пять уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

;

;

; кН.

;

; кН.

;

; кН.

Уравнения проекций сли на оси координат:

;

кН

;

КН.

Результаты измерений сведены в табл. 2.

0,43 кН1,16 кН3,13 кН-0,59 кН3,6 кН

3. Интегрирование дифференциальных уравнений

Дано

A=45° ; Vв=2Va ; τ=1c; L=3 м ; h=6

Найти ƒ=? d=?

Решение

MX=SXi 1 Fтр=fN

MX=Gsina-FcoпрN=Gcosa

A

mX=Gsina-fGcosa

X=gsina-fgcosa

X=(g(sina-fcosa) t+ C1

X=(g(sina-fcosa)/2) t2 + C1 t+ C2

При нормальных условиях : t=0 x=0 X=C1 X= C2 => C1 =0

X=g(sina-fcosa) t+ 1 X=(g(sina-fcosa)/2) t2

X=VвX=L

Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ

L=((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ

ƒ=tgα-(2L/τ *g*cosα)=1-0,8=0,2

Vв=2l/τ=6/1=6м/с

Рассмотрим движение тела от точки В до точки С показав силу тяжести действующую на тело, составим дифференциальное уравнение его движения. mx=0 my=0

Начальные условия задачи: при t=0

X0=0 Y0=0

X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα

Интегрируем уравнения дважды

Х=C3 Y=gt+C4

X= C3t+ C5

Y=gt /2+C4t+C6, при t=0

X=C3; Y0=C4

X=C5; Y0=C6

Получим уравнения проекций скоростей тела.

X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα

И уравнения его движения

X=Vв*cosα*tY=gt /2+Vв*sinα*t

Уравнение траектории тела найдем, исключив параметр tиз уравнения движения. Получим уравнение параболы.

Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα

В момент падения y=hx=d

D=h/tgβ=6/1=6м

Ответ:ƒ=0,2 d=6 м

4. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

Задание: Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.

Дано: = 9,0 кН; = 12,0 кН; = 26,0 кНМ; = 4,0 кН/м.

Схема конструкции представлена на рис.1.

Рис.1. Схема исследуемой конструкции.

Решение:

1) Определение реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2.). Составим уравнение моментов сил относительно точки B.

Рис.2.

(1)

Где КН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1) получает вид:

КН (1′)

Второе уравнение с неизвестными и получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира С (рис. 3):

Рис. 3.

.

Отсюда находим, что

кН.

Подставив найденное значение в уравнение (1′) найдем значение :

кН.

Модуль реакции опоры А при шарнирном соединении в точке С равен:

кН.

2) Расчетная схема при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой, показанной на рис. 4.

Рис. 4

Системы сил, показанные на рис. 2 и 4, ничем друг от друга не отличаются. Поэтому уравнение (1′) остается в силе. Для получения второго уравнения рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, располоденной левее скользящей заделки С (рис. 5).

Рис. 5

Составим уравнение равновесия:

И из уравнения (1′) находим:

Следовательно, модуль реакции при скользящей заделке в шарнире С равен:

кН.

Итак, при соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры А меньше, чем при шарнирном соединении (≈ 13%). Найдем составляющие реакции опоры В и скользящей заделки.

Для левой от С части (рис. 5а)

,

кН.

Составляющие реакции опоры В и момент в скользящей заделке найдем из уравнений равновесия, составленных для правой от С части конструкции.

кН* м

кН

; кН

Результаты расчета приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Силы, кНМомент, кН* м
XAYARAXCXBYBMC
Для схемы на рис. 2-7,5-18,419,9
Для схемы на рис. 4-14,36-11,0917,35-28,828,812,0-17,2

Дано :

R2 =15; r2 =10; R3 =20; r3 =20

X=C2 t2 +C1 t+C0

При t=0 x0 =8 =4

T2 =2 x2 =44 см

X0 =2C2 t+C1

C0 =8

C1 =4

44=C2 *22 +4*2+8

4C2 =44-8-8=28

C2 =7

X=7t2 +4t+8

=V=14t+4

A==14

V=r22

R22 =R33

3 =V*R2 /(r2 *R3 )=(14t+4)*15/10*20=1,05t+0,3

3 =3 =1,05

Vm =r3 *3 =20*(1,05t+0,3)=21t+6

Atm =r3

=1,05t

Atm =R3=20*1,05t=21t

Anm =R323 =20*(1,05t+0,3)2 =20*(1,05(t+0,28)2

A=

5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Исходные данные.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Трение скольжения тела 1 и сопротивление качению тела 3 отсутствует. Массой водила пренебречь.

Массы тел – m1 , m2 , m3 , m4 ; R2 , R3 , R4 – радиусы окружностей.

M1 , кгM2 , кгM3 , кгM4 , кгR2 , смR3 , смS, м
MM/10M/20M/1010120.05π

Найти.

Пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определит скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

Решение.

1. Применим к механической системетеорему об изменении кинетической энергии.

,

Где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении из начального положения в конечное; – сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями . Так как в начальном положении система находится в покое, то T0 =0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

.

2. Определим угол, на который повернется водило, когда груз 1 пройдет расстояние s.

.

То есть когда груз 1 пройдет путь s, система повернется на угол 90º.

3. Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4.

T = T1 + T2 + T3 + T4 .

А) Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно равна:

.

Б) Кинетическая энергия катка 2, вращающегося вокруг своей оси равна:

,

Где – момент инерции катка 2, – угловая скорость катка 2.

Отсюда получаем, что

.

В) Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоско-параллельное движение, равна:

,

Где – скорость центра масс катка 3,

-угловая скорость мгновенного центра скоростей катка 3

Момент инерции катка 3 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

Г) Кинетическая энергия катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, равна:

Где – угловая скорость мгновенного центра скоростей,

– скорость центра масс катка 4,

– момент инерции катка 4 относительно мгновенного центра скоростей.

Отсюда получаем, что

Таким образом, кинетическая энергия всей механической системы равна:

4. Найдем работу всех внешних сил, приложенных к системе на заданном перемещении.

А) Работа силы тяжести G1 : AG1 =m1 ∙g∙s=m∙980∙5=15386∙m1 .

Б) Работа силы тяжести G2 : AG2 =0.

В) Работа силы тяжести G3 : AG3 =-m3 ∙g∙(OA)=-0.05∙m∙980∙36=-1764∙m.

Г) Работа силы тяжести G4 : AG4 =-m4 ∙g∙OC=-0.1∙m∙980∙72=-7056∙m.

Таким образом, работа всех внешних сил, приложенных к системе равна:

= AG1 +AG3 +AG4 =15386∙m-1764∙m-7056∙m=6566∙m.

5. Согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравниваем значения T и .

=6566∙m;

=6566.

Отсюда скорость тела 1 равна:

= 0.31 м/с.

Результаты расчетов.

V1 , м/c
0.31

Дано: Q=4kH, G=2kH, a=50см, b=30см.

Определить: реакции опор А, В, С.

Решение:

1) ∑FKX =XA +XB – RC ∙cos30°+Q·sin45°=0;

2) ∑FKY =YA =0;

3) ∑FKZ =ZA +ZB +RC -sin30°-G-Q-cos45°=0;

4) ∑MKX =ZB -AB-G-AB/2-Q-cos45°-AB=0;

5) ∑MKY =G-AC/2-cos30°-RC -AC-sin60°+Q-AC-sin75°=0;

6) ∑MKZ =-XB -АВ-Q-AB-cos45°=0.

Из (6) XB =(-Q-AB-cos45°)/АВ=-4-50-0,7/50=-2,8кН

Из (5) RC =(G-AC/2-cos30°+Q-AC-sin75°)/AC-sin60°=

=(2-30/2-0,87+4-30-0,96)/30-0,87=(26,1+115,2)/26,1=5,4кН

Из (4) ZB =(G-AB/2+Q-cos45°-AB)/AB=(50+141,4)/50=3,8kH

Из (3) ZA =-ZB – RC -sin30°+G+Q-cos45°=-3,8-2,7+2+2,8=-1,7кН

Из (1) XA =-XB +RC ∙cos30°-Q·sin45°=2,8+4,7-2,8=4,7кН

Результаты вычислений:

Силы, кН
RCXAYAZAXBZB
5,44,70-1,7-2,83,8


Зараз ви читаєте: Действие физических сил на конструкцию