Формула Н ютона Лейбінца

Міністерство освіти України

Коломийське В П У-17

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Учня групи № 15

Лінькова А. М.

Коломия 2002р.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най – простіших функцій, таких, як y = k x, y = x ² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

S
f
x
dx
a
b
=
ò
,
(
)
що

Виберемо довільну точку x є [ a; b] і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

Змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че –

рез S ( x ) і покажемо, що існує її похідна причина, при –

чому S΄ ( x )=ƒ( x ) , де y =ƒ( x ) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S ( x ) є первісною для ƒ( x ) .

Надамо змінній x приросту Δ x, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δ x > 0 . Тоді й фенкція S ( x ) набуде приросту Δ S ( x ) . У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку [ a ; b ] функція y =ƒ( x ) досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y =ƒ( x ) є неперервною на відрізку [ x, x + Δ x ] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

M Δ x < Δ S ( x ) < M Δ x

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y =ƒ( x )

Lim m =lim M = ƒ(x)

D
®
D
D
=
D
®
D
D
=
¢
¢
=
Lim
0
(
)
(
).
Lim
0
(
)
(
),
(
)
(
),
тоді
x
S
x
S
f
x
x
S
x
x
S
x
то
S
x
f
x
тобто

Δ x→0 Δ x→0

Але
Оскільки

функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ) .

Позначимо через F ( x ) будь-яку первісну для функції y =ƒ( x ) . За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S ( x ) = F ( x )+ C. (1)

При x = a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S ( x ) = 0 .

Підставивши у рівність (1) замість х число а, а замість S ( x ) число 0 , одер-жимо C = – F ( a ) . Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S ( x ) = F ( x )- F ( a ). (2)

Коли x = b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числу S = S ( b ) . Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S ( b ) = F ( b )- F ( a ).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

B

Значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

A

B

∫ ƒ(x) dx = F ( b )- F ( a ). (3)

A

)
x
a
b
(

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку [ a ; b ] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x = b i x = a.

F

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

=
(
)
(
)
f
x
dx
F
x
b
b
ò
a
a

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

S
ò
D
=
=
=
=
o
k
o
k
OAB
xdx
x
k
k
2
0
2
2
2

(кв. од.);

o
3
3
3
o

(кв. од.). П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y = sin x,

x
i
x
=
=
p
p
4
2

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

S
x
dx
x
p
p
p
p
p
p
ò
=
=
=
æ
è
ç
o
ø
÷
=
æ
è
ç
ç
o
ø
÷
÷
=
4
2
Sin
Cos
2
4
Cos
2
Cos
4
0
2
2
2
2

Розв’ язання:

( кв. од.).

j
j
±
=
±
=
=
+
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
a
b
f
x
x
dx
f
x
dx
x
dx
k
f
x
dx
k
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
x
dx
1
.
2
.
,
.
3
.
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

k
R
.
Î

де

тобто якщо відрізок [ a ; b ] розбито на два

+
+
ò
ò
+
=
4
.
1
,
a
b
ka
p
kb
p
f
kx
p
dx
k
f
t
dt
)
(
)
(

відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку [ a ; b ] дорівнює сумі інтегралів на від – різках [ a ; b ] i [ a ; c ].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.

p
)
(
4
x
dx
Cos
3
ò
x

Приклад 4. Обчислити

0

Розв ‘ язання:

2
+
ò
)
(
2
2
x
dx

Приклад 5. Обчислити

1

Розв ‘ язання:

4
è
ø
3

Приклад 6. Обчислити

p

Розв’яззати:


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...

Зараз ви читаєте: Формула Н ютона Лейбінца