Основная задача механики


Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3 , катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1 , m2 , m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m 1 , кгm 2 , кгm 3 , кгm4 , кгR 3δ , смs, м
M1/2m5m4m250,202

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

Где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе; – сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 =0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1 , 2 , 3 и 4 :

Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4 . (3)

Кинетическая энергия груза 1 , движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2 , совершающего вращательное движение,

, (5)

Где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

W2 – угловая скорость барабана 2 :

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3 , совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

Где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3 , J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

W3 – угловая скорость барабана 3 .

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4 , движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

Или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

Где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа силы тяжести :

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

Откуда выводим

М/с.

Дано:

R2 =30; r2 =20; R3 =40; r3 =40

X=C2 t2 +C1 t+C0

При t=0 x0 =7 =0

T2 =2 x2 =557 см

X0 =2C2 t+C1

C0 =7

C1 =0

557=C2 *52 +0*5+7

25C2 =557-7=550

C2 =22

X=22t2 +0t+7

=V=22t

A==22

V=r22

R22 =R33

3 =V*R2 /(r2 *R3) =(22t)*30/20*40=0,825t

3 =3 =0,825

Vm =r3 *3 =40*(0,825t)=33t

Atm =r3

=0,825t

Atm =R3=40*0,825t=33t

Anm =R323 =40*(0,825t)2 =40*(0,825(t)2

A=

***********************************

Дано :R2 =15; r2 =10; R3 =15; r3 =15

X=C2 t2 +C1 t+C0

При t=0 x0 =6 =3

T2 =2 x2 =80 см

X0 =2C2 t+C1

C0 =10

C1 =7

80=C2 *22 +3*2+6

4C2 =80-6-6=68

C2 =17

X=17t2 +3t+6

=V=34t+3

A==34

V=r22

R22 =R33

3 =V*R2 /(r2 *R3) =(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

3 =3 =3,4

Vm =r3 *3 =15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

Atm =r3

=3,4t

Atm =R3=15*3,4t=51t

Anm =R323 =15*(3,4t+0,3)2 =15*(3,4(t+0,08)2

A=

Решение второй задачи механики

Дано:

M=4.5 кг; V0 =24 м/с;

R=0.5V H;

T1 =3 c;

F=0.2;

Q=9 H; Fx =3sin(2t) H.

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

Учитывая, что R=0.5VH;

Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0 =VB )

Дано:

M =36 кг

R =6 см=0,06 м

H =42 см=0,42 м

YC =1 см=0,01 м

Z С =25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н-м

T 1 =5 с

Найти реакции в опорах А и В.

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1)

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

, (2)

Где Jz 1 − момент инерции тела относительно центральной оси С z 1 , параллельной оси z ; d – расстояние между осями z и z 1 .

Воспользуемся формулой

, (3)

Где α , b, g – углы, составленные осью z 1 с осями x, h, z соответственно.

Так как α=90º , то

. (4)

Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z

;

.

Вычисляем

;

.

Определяем угол g из соотношения

;

;

.

Угол b равен

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

,

Где d = yC ;

.

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

Поэтому при ω0 =0 и t = t 1 =5 c

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.

Центробежный момент инерции тела определим по формуле

,

Где , т. е.

.

Тогда

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Отсюда

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

X=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); (1)

T1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

X2 + y2 = (5cos(pt2 /3))2 + (-5sin(pt2 /3))2 ;

Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

(2)

Вектор ускорения точки

Здесь Vx, Vy, ax, ay – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(Vx2 + Vy2 ); (4)

И модуль ускорения точки:

А =Ö(ах2 +ау2 ). (5)

Модуль касательного ускорения точки

Аt =|dV/dt|, (6)

Аt = |(Vx ax +Vy ay )/V| (6′)

Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак ” – ” – что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

Ап = V2 /p; (7)

P – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

An =Ö(а2 – at2 ); (8)

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

P=V2 / an. (9)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

См

Скорость

См/с

Ускорение, см/с2

Радиус

См

ХУVxVyVAxAyAAtAnP
2.5-2.5Ö3-5p/Ö3-5p/310p/3-20.0413.7624.310.521.95

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

Дополнительное задание:

Z=1.5tx=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(Vx2 + Vy2 +Vz2 );

И модуль ускорения точки:

А =Ö(ах2 +ау2 + аz2 ).

V=;

A=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки

Аt = |(Vx ax +Vy ay + Vz az )/V|

At =(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

An =Ö(а2 – at2 );

An =21.98 см/с2 .

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

P=V2 / an. р=5.1 см

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

См

Скорость

См/с

Ускорение, см/с2

Радиус

См

XYZVxVyVzVAxAyAzAAtAnP
2.5-4.331.5-9.07-5.241.510.58-20.0413.76024.310,3621.985.1

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано:

ОМ=Sr=120pt2 см;

Jе =8t2 – 3t рад ;

T1=1/3 c; R=40 см.

Решение:

1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr =ОМ

При t=1/3 cSr =120p/9=41.89 см.

При t=1/3с Vr =80p=251.33 см/с.

Art =d2 Sr /dt2 art =240p=753.98 см/с2

Arn =Vr2 /R arn =(80p)2 /40=1579.14 см/с2

2) Ve =we r, где r – радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

A=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.

Wе =dje /dt=16t-3 при t=1/3 wе =7/3=2.33 с-1

Ve =80.83 см/с.

Аец =we2 r аец =188.6 см/с2 .

Аев =eе reе = d2 je /dt2 =16 с-2 аев =554.24 см/с2 .

3)

Ас =2*wе Vr sin(wе, Vr ) sin(wе, Vr )=90-a=p/6 ac =585.60 см/с2

4)

V=Ö(Ve2 +Vr2 ) V=264.01 см/с

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

Ax =aев +ас

Ay =arn cos(p/3)+art cos(p/6)

Az =-аец – arn cos(p/6)+art cos(p/3)

А=Ö(ax2 +ay2 +az2 )

Результаты расчетов сведены в таблицу

W e,

C-1

Скорость см/с

E е

С-2

Ускорение, см/с2
VeVrVаецa е вarnаr tасaxayazа
2.3380.8251.326416188.6554157975458611401143-11791999

Определение реакций опор твердого тела

Дано :

Q=10 kH;

G=5 kH;

A=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.

Задание:

Найти реакции опор конструкции.

Решение:

Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.

Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Силы, кН
РХАZAXBZB
5.15-0.172.08-3.342.92

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.



Зараз ви читаєте: Основная задача механики