Переходные процессы в электрических цепях


Пример решения задачи

По разделу “Переходные процессы”

Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

I(t) = iпр (t) + iсв (t); u(t) = uпр (t)+ uсв (t), (1)

Где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0-). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1 (0-) равен току i3 (0-), ток i2 (0-) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

Откуда

= 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC (0-) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL (0-) = iL (0+), т. е. ток i3 (0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC (0-) = uC (0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

Или

;

I1 (0+) = i2 (0+) + i3 (0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC (0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

= 10 А;

= 100 В; ;

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр (0+) + iсв (0+) и u(0+) = uпр (0+) + uсв (0+).

Iсв1 (0+) = 4 А; iсв2 (0+) = 10 А; iсв3 (0+) = -6 А; uсвL (0+) = uсвС (0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;

(2)

Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т. е.

и ,

Откуда

; (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

; ; ;

Все полученные результаты заносим в таблицу.

I1I2I3ULUCUR2
T = 0+1410400100
1001000100

410-6

0

0

0

-105-1050

106

106

-106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2 :

.

Заменим jwна р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

Или

R2 CLp2 + pL + R2 = 0.

Откуда находим корни р1 и р2 .

Р1 = -1127, р2 = -8873.

7. Определим постоянные интегрирования А1 иА2 . Для чего составим систему уравнений:

;

Или

;

Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А1i + А2i ;

.

После решения: А1i = -8,328 А, А2i = 12,328 А.

Для напряжения uL :

;

.

После решения: = 129,1 В, = -129,1 В.

8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону:

I1 (t) = 10 – 8,328е-1127t + 12,328e-8873t,

А напряжение uL :

UL (t) = 129,1e-1127t – 129,1 e-8873t.



Зараз ви читаєте: Переходные процессы в электрических цепях