Построение экономико-математических моделей


Контрольная работа

По экономико-математическим методам

Задача №1

Условие задачи:

Администрация штата объявила торги на n строительных подрядов для n фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а через 1,2,…,t – фирмы, расположенные за пределами штата. Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте соответствующую данным условиям модель.

Решение:

Пусть х – затраты на строительство, тогда цель задачи “минимизация общих затрат” будет выражена через функцию

F = x → min

Пусть х1 – затраты на строительство при подряде местных строительных фирм, х2 – затраты на строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.

F = n*х1 +n*х2 → min

S*t ≤N

Nn ≤1

Х1 , х2 ≥ 0

Задачу минимизации общих затрат на строительство можно записать как задачу математического программирования

Nnts

F =∑∑ Cij *Хij+∑∑ Cij*Yij → min

I=1 j=1 i=1 j=1

При ограничениях

Хij ≤ 1; I, j= 1, n

Yij ≤ 1; I, j= 1, n

∑ij≤ N; i=1, t; j=1s

Хij, Yij ≥0

Через Хijобозначен факт заключения администрацией штата с i – той фирмой, расположенной на территории штата, j – того контракта (подряда)

1, i – ая фирма заключила – контракт

Хij= 0, i – ая фирма не заключила – котракт

Через Yijобозначен факт заключения администрацией штата i – oй фирмой, расположенной за пределами штата, j – того контракта.

Через Cijобозначены затраты на строительство по j – тому контракту с i – ой фирмы.

Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых с одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условие ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за пределами штата, в количестве не более N, четвертое условие очевидно исходя из условия данной задачи.

Задача № 2

Условие задачи:

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов.

Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.

В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид кормаКол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицыКол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы

Общее

Кол-во корма

123180
241240
367426
Прибыль от реализации 1 шкурки1612

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение:

Введем переменные.

Пусть х – это количество лисиц и песцов, которое следует выращивать на ферме.

Х1 – это количество лисиц, которое следует выращивать на ферме.

Х2 – это количество песцов, которое следует выращивать на ферме.

Цель задачи: максимизация прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:

F =16х1 + 12х2 → max

Посмотрим как будут выглядеть данные в задаче ограничения:

2х1 +3х2≤180 – ограничения корма 1

4х1 +х2 ≤ 240 – ограничения корма 2

6х1 +7х2 ≤ 426 – ограничения корма 3

Х1 , х2 ≥ 0, € Z

После решения задачи в программе XL получены результаты:

57 лисиц и 12 песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.

Задача № 3

Условие задачи:

Найти оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур характеризуется показателями таблицы:

ПоказателиОзимая рожьОзимая пшеницаКартофель
Урожайность с 1га, ц3240250
Затраты труда на 1га, человек162080
Материально-денежные затраты на 1га, руб214226782

По плану требуется произвести 32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации – минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.

Прямая задача:

Пусть х – это количество га занятых под продовольственные культуры, тогда Х1 – кол-во га, занятых под озимой рожью, Х2 – кол-во га, занятых под озимой пшеницей, Х3 – кол-во га, занятых под картофелем.

Целью задачи является – минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции, т. е.

F = 214×1 +226×2 +782×3 → min

Выделим ограничения, определенные условиями задачи:

X1 +x2 +x3 =1000,16×1 +20×2 +80×3 ≤ 30000,32×1 +40×2 ≥ 32000,250×3 ≥ 40000,×1 , x2 , x3 ≥ 0.

Решаем задачу в программе XL и получаем результат:

Х1 , т. е количество га, занятых под озимой рожью=125га.

Х2 , т. е количество занятых га под озимую пшеницу =700га.

Х3 , т. е количество занятых га под картофель=175га.

Это будет оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции составили 825руб.

Двойственная задача:

На первом этапе приведем прямую задачу к двойственной задачи.

Х1 +x2 +x3 ≥1000

Х1 +x2 +x3 ≤ 1000

16×1 +20×2 +80×3 ≤ 30000

32×1 +40×2 ≥ 32000

250×3 ≥ 40000

X1 x2 x3 ≥ 0

Матрица ограничений. Умножаем на – 1.

X1 – x2 – x3 ≤-1000

X1 +x2 +x3 ≤ 1000

16×1 +20×2 +80×3 ≤ 30000

32×1 -40×2 ≤ – 32000

250×3 ≤ – 40000

X1 , x2 ,x3 ≥ 0

Транспонированная матрица коэффициентов ограничения

Х1 х2 х3

У1 – 1 – 1 – 1 – 1000

У2 1 1 1 1000

У3 16 20 80 30000

У4 – 32 – 40 0 – 32000

У5 0 0 – 250 – 40000

Целевая функция двойственной задачи будет выглядеть следующим образом:

Z = – 1000y1 +1000y2 + 30000y3 – 32000y4 – 40000y5 → max

Y1 +y2 +16y3 -32y4 ≤ 214

Y1 +y2 +20y3 -40y4 ≤ 226

Y1 +y2 +80y3 -250y5 ≤ 782

Решаем ограничения в программе XL



Зараз ви читаєте: Построение экономико-математических моделей