Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера


РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Содержание

Введение

1. Создание С#

2. Постановка задачи

3. Метод Крамера

4. Программная реализации алгоритма метода Крамера

Заключение

Список использованных источников

Введение

На практике в большинстве случаев найти точной решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

В настоящей курсовой работе рассмотрена важная, с точки зрения прикладных задач: метод Крамера для решение линейных алгебраических уравнений.

1. СОЗДЕНИЕ С #

Зачастую слишком многого требований от инструментов, с которыми работаем, особенно, когда это касается языков программирования. Хотя таких языков существует великое множество, но только некоторые из них по-настоящему сильны. Эффективность языка заключается в его мощности и одновременно – в гибкости. Синтаксис языка должен быть лаконичным, но ясным. Он должен способствовать созданию корректного кода и предоставлять реальные возможности, а не ультрамодные (и, как правило, тупиковые) решения. Наконец, мощный язык должен иметь одно нематериальное качество: вызывать ощущение гармонии. Как раз таким языком программирования и является С#. Созданный компанией Microsoft для поддержки среды. NET Framework, язык С# опирается на богатое наследие в области программирования. Его главным архитектором был ведущий специалист в этой области – Андерс Хейлсберг (Anders Hejlsberg).

С# — прямой потомок двух самых успешных в мире компьютерных языков: С и C++. От С он унаследовал синтаксис, ключевые слова и операторы. Он позволяет построить и усовершенствовать объектную модель, определенную в C++. Кроме того, С# близко связан с другим очень успешным языком: Java. Имея общее происхождение, но различаясь во многих важных аспектах, С# и Java – это скорее “двоюродные братья”. Например, они оба поддерживают программирование распределенных систем и оба используют промежуточный код для достижения переносимости, но различаются при этом в деталях реализации. Опираясь на мощный фундамент, который составляют унаследованные характеристики, С# содержит ряд важных новшеств, поднимающих искусство программирования на новую ступень. Например, в состав элементов языка С# включены такие понятия, как делегаты (представители), свойства, индексаторы и события. Добавлен также синтаксис, который поддерживает атрибуты; упрощено создание компонентов за счет исключения проблем, связанных с COM (Component Object Model – модель компонентных объектов Microsoft – стандартный механизм, включающий интерфейсы, с помощью которых объекты предоставляют свои службы другим объектам).

И еще. Подобно Java язык С# предлагает средства динамического обнаружения ошибок, обеспечения безопасности и управляемого выполнения программ. Но, в отличие от Java, C# дает программистам доступ к указателям. Таким образом, С# сочетает первозданную мощь C++ с типовой безопасностью Java, которая обеспечивается наличием механизма контроля типов (type checking) и корректным использованием шаблонных классов (template class). Более того, язык С# отличается тем, что компромисс между мощью и надежностью тщательно сбалансирован и практически прозрачен (не заметен для пользователя или программы).

На протяжении всей истории развития вычислительной техники эволюция языков программирования означала изменение вычислительной среды, способа мышления программистов и самого подхода к программированию. Язык С# не является исключением. В непрекращающемся процессе усовершенствования, адаптации и внедрения нововведений С# в настоящее время находится на переднем крае. Это – язык, игнорировать существование которого не может ни один профессиональный программист.

2. Постановка задачи

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики [1,2].

(1)

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:

Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Данная таблица n 2 элементов, состоящая из n строк и n столбцов, называется квадратной матрицей порядка n. Если подобная таблица содержит nm элементов, расположенных в n строках и m столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.

Используя понятие матрицы А, систему уравнений (3) можно записать в векторно-матричном виде:

,

Или, в более компактной записи,

Где х и b – вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.

3. Метод Крамера

Алгоритм Крамера, согласно [1,2], выражается формулами

Где

…,

При этом необходимым и достаточным условием существование единственного решения, является не равенство нулю главного определителя системы

.

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке.

4. Программная реализации алгоритма МЕТОДА КРАМЕРА

Основным методом класса Programm, является метод Main. С него начинается выполнение программы. В нашем случае, он содержит простейший пользовательский интерфейс, по средством которого пользователь вводит размерность системы, элементы матрицы системы А и вектора правых частей b (1, глава 1), а после необходимых вычислений на экране появляется результат – элементы вектора x.

В работе, алгоритм Крамера для большей читабельности, разбит на отдельные функции – методы:

Staticdoubledet(intn, double [,]B) – метод вычисляющий определитель матрицы. Параметрами этого метода являются – количество уравнений (n ), а так же матрица, в нашем случае B. Определитель матрицы вычисляется непосдедственно, т. е. разложением по первой строке [3];

Staticvoidequal(intn, double [,]A, double [,]B) – метод присваивающий матрицы (), где n – размерность матриц;

StaticintSLAU_kramer(intn, double[,] A, double[] b, double[] x) – метод реализующий метод Крамера, согласно блок схеме главы 2.

В качестве языка программирования мы использовали объектно – ориентированный язык С#. Наш выбор обусловлен его гибкостью в разработке и создании программых продуктов [4-7].

Текст программы приведет ниже.

UsingSystem;

Using System. Collections. Generic;

Using System. Text;

Namespace ConsoleApplication_Kramer

{

Class Program

{

Static void Main(string[] args)

{

Int n; /* количество уравнений */

Double [,] A = new double [3,3]; /* матрица системы */

Double [] b = new double [3]; /* вектор правых частей */

Double [] x = new double [3]; /* вектор решения */

Char qq;

Console. Write(“Введите количество уравнений(<=3) n -> “);

N = Convert. ToInt32(Console. ReadLine());

If (n > 3 || n <= 1)

{

Console. WriteLine(“Ошибка в размерности системы (n=2,3)”);

Convert. ToInt32(Console. ReadLine());

Return;

}

For(int i=0; i<n; i++)

For(int j=0; j<n; j++)

{

Console. Write(“A{0}{1} -> “,i, j);

A[i, j] = Convert. ToDouble(Console. ReadLine());

}

For(int i=0; i<n; i++)

{

Console. Write(“b{0} -> “, i);

B[i] = Convert. ToDouble(Console. ReadLine());

}

If(SLAU_kramer(n, A, b, x)==1)

{

Console. WriteLine(“Система не имеет решение”);

Convert. ToInt32(Console. ReadLine());

Return;

}

Else

For(int i=0; i<n; i++)

Console. WriteLine(“x”+i+” = “+x[i]);

Console. ReadLine();

}

Private

Static double det(int n, double [,]B)

{

If (n == 2)

Return B[0,0] * B[1,1] – B[0,1] * B[1,0];

Return B[0,0] * (B[1,1] * B[2,2] – B[1,2] * B[2,1]) – B[0,1] * (B[1,0] * B[2,2] – B[1,2] * B[2,0])+

B[0,2]*(B[1,0] * B[2,1] – B[1,1] * B[2,0]);

}

Static void equal(int n, double [,]A, double [,]B)

{

For(int i=0; i<n; i++)

For(int j=0; j<n; j++)

A[i, j]=B[i, j];

}

Static void change(int n, int N, double[,] A, double[] b)

{

For(int i=0; i<n; i++)

A[i, N]=b[i];

}

Public

Static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x)

{

Double [,]An = new double [3,3];

Double det1 = det(n, A);

If (det1 == 0) return 1;

For (int i = 0; i < n; i++)

{

Equal(n, An, A);

Change(n, i, An, b);

X[i] = det(n, An) / det1;

}

Return 0;

}

}

}

Программа, реализующая метод Крамера, была протестирована на следующий тестовых примерах.

Решить систему второго порядка

Решением систены является вектор

.

Результат выполнения программы представлен на рис. 1.

Рис. 1. Результат выполнения программы для системы второго порядка.

Решить систему третьего порядка

Решением систены является вектор

.

Результат выполнения программы представлен на рис. 2.

Рис. 2. Результат выполнения программы для системы третьего порядка.

В ходе тестированя, так же были рассмотрены случаи неправильного ввода размерности, результат выполнения на рис.3 и случай несовместности системы уравнений рис.4.

Рис. 3. Результат выполнения программы в слуае ошибочного ввода размерности системы.

Рис. 4. Результат выполнения программы в случае несовместности системы.

Следует заметить, что в программе не ошуществляется проверка правильность ввода элементов матрицы и вектора правых частей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе, нами был программно реализован метод Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений. Мы использовали необходимое условие существования решения, т. е. не равенство нулю главного определителя системы.

Отличительная черта этого метода заключается в неоднократном вычислении определителя матрицы. С вычислительной точки зрения это трудоемкая операция с ростом количества элементов. В работе была рассмотрена система 3-го порядка, а определители вычислялись непосредственно.

Однако это не снижает ценность работы, так как переход к решению СЛАУ с неизвестным количеством уравнений осуществляется изменением метода, вычисляющий определитель матрицы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Турчак Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 304 с.

2. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон,

Э. З. Шувалова. – М.: Наука, 1967.- 368 с.

3. Высшая математика для экономистов:Уч. Для вузов/Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман.-М.:Банки и биржи, 1998.-471 с.

4. Мохика Х. Язык С#: разработка Web-приложений на ASP. NET / Х. Мохика; пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: НТ Пресс, 2006. – 464 с. – (QuickStart).

5. Либерти Дж. Программирование на C#: пер. с англ. / Дж. Либерти. – 2-е изд. – СПб.: Символ, 2003. – 688 с.: ил.

6. С#: пер. с англ. / К. Ватсон, М. Беллиназо, О. Корнс и др. – СПб.: Питер, 2006. – 861 с.

7. Галисеев Г. В. Программирование на языке С#: самоучитель / Г. В. Галисеев. – М.: Вильямс, 2006. – 368 с.: ил.



Зараз ви читаєте: Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера