Уравнения линейной регрессии

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

Контрольная работа

По дисциплине “Эконометрика”

Тула – 2010 г.

Содержание

Задача 1

Задача 2 (а, б)

Задача 2 в

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Табл. 1.1.

Х33172317362539201312
Y43273229453547322224

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

Табл. 1.2.

TYXYx
143331419108942,2360,7640,58490,2588,360,018
2271745928927,692-0,6920,47942,2543,560,026
3322373652933,146-1,1461,3130,252,560,036
4291749328927,6921,3081,71142,2521,160,045
545361620129644,9630,0370,001156,25129,960,001
6352587562534,9640,0360,0012,251,960,001
747391833152147,69-0,690,476240,25179,560,015
8322064040030,4191,5812,50012,252,560,049
9221328616924,056-2,0564,227110,25134,560,093
10241228814423,1470,8530,728132,2592,160,036
3362358649635112,020828,5696,40,32
Средн.33,623,5864,9635,1

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии Показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки , остаточную сумму квадратов , найдем остаточную дисперсию По формуле:

Расчеты представлены в табл. 2.

Рис. 1. График остатков ε.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

Табл. 1.3.

0,584
2,1200,479
0,2061,313
6,0221,711
1,6150,001
0,0000,001
0,5270,476
5,1572,500
13,2284,227
2,4620,728
31,33712,020

D1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.

,

Значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).

для ν=8; α=0,05.

Расчет значения Произведен в табл. 2. Получим:

Так как , то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Значит,. Т. о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т. к. .

Коэффициент детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т. к. k1=1, k2=8, α=0,05

Т. к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

,

Значит, линейную модель можно считать точной, т. к. Е<5%/

6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax

Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86

Найдем границы интервала:

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.

8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид

;

Проведем линеаризацию переменной путем замены .

Расчеты произведем в табл. 3.

Модель имеет вид:

Табл.1.4.

TYXХУХ
143330,0301,2900,00136,8706,13037,5770,143
227170,0591,5930,00332,135-5,13526,3680,190
332230,0431,3760,00234,683-2,6837,1980,084
429170,0591,7110,00332,135-3,1359,8280,108
545360,0281,2600,00137,2897,71159,4600,171
635250,0401,4000,00235,260-0,2600,0680,007
747390,0261,2220,00137,6449,35687,5350,199
832200,0501,6000,00333,600-1,6002,5600,050
922130,0771,6940,00629,131-7,13150,8510,324
1024120,0831,9920,00728,067-4,06716,5400,169
3362350,49515,1380,029297,9851,445
Средн33,623,50,0501,5140,003

Найдем индекс корреляции по формуле

,

Значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т. к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (10,692>5,32),

Значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

Значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.

Табл. 1.5.

TYXYХ
143331,6331,5192,4812,30742,1660,8340,6960,019
227171,4311,231,7601,51327,930-0,9300,8650,034
332231,5051,3622,0501,85533,697-1,6972,8800,053
429171,4621,231,7981,51327,9301,0701,1450,037
545361,6531,5562,5722,42144,5070,4930,2430,011
635251,5441,3982,1591,95435,488-0,4880,2380,014
747391,6721,5912,6602,53146,7750,2250,0510,005
832201,5051,3011,9581,69330,8961,1041,2190,035
922131,3421,1141,4951,24123,644-1,6442,7030,075
1024121,3801,0791,4891,16422,4981,5022,2560,063
33623515,12713,38020,42218,19212,2960,346
Cредн33,623,51,5131,3382,0421,819

Получим

Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

Значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т. к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

Значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,46%. Модель точная.

8. в) Составим показательную модель, уравнение которой имеет вид:

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Табл. 1.6.

TYXYYx
143331,63353,889108942,3430,6570,4320,015
227171,43124,32728927,220-0,2200,0480,008
332231,50534,61552932,126-0,1260,0160,004
429171,46224,85428927,2201,7803,1680,061
545361,65359,508129646,001-1,0011,0020,022
635251,54438,60062533,9501,0501,1020,030
747391,67265,208152149,974-2,9748,8450,063
832201,50530,10040029,5712,4295,9000,076
922131,34217,44616924,374-2,3745,6360,108
1024121,38016,56014423,7100,2900,0840,012
33623515,127365,107635126,2330,399
Средн33,623,51,51336,511635,1

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

Значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т. к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (202,528>5,32),

Значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

Значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученные модели.

Табл. 1.7.

Модель регрессииF-критерий
Линейная0,9920,9844923,2
Гиперболическая0,7560,57210,69214,45
Степенная0,9910,982436,4483,46
Показательная0,9810,962202,5283,99

Наилучшей моделью является линейная модель (по максимуму критерия корреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибке аппроксимации).

Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.

Задача 2 (а, б)

Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Табл. 2.1.

Номер вариантаНомер уравненияЗадача 2аЗадача 2б
ПеременныеПеременные
Y1Y2Y3X1X2X3X4Y1Y2Y3X1X2X3X4
61-1B12B13A11A1200-10B13A11A120A14
2B21-1B23A2100A24B21-10A210A23A24
30B32-1A31A32A330B310-1A31A320A34

Решение

A) CФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации

Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
Х3Х4
20А24
3А330

Составим матрицу из коэффициентов

Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 – необходимое условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
Х2Х3
1А120
3А32А33

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 – необходимое условие идентификации выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
У1Х4
1-10
3B21А24

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.

Т. о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

Б) СФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
У2Х3
2-1А23
300

Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
У3Х2
1B13А12
3-1A32

Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

УравнениеОтсутствующие переменные
У2Х3
100
2-1A23

Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т. к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.

Задача 2 в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Табл. 2.2.

ВариантNY1Y2X1X2
6177,570,7112
2100,694,9216
3143,5151,8720
497,1120,9810
563,683,465
675,384,549

Решение

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальных уравнений.

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Табл. 2.3.

NY1Y2X1X2
177,570,711277,511293014470,7848,4
2100,694,9216201,24321609,6256189,81518,4
3143,5151,87201004,54914028704001062,63036
497,1120,9810776,86480971100967,21209
563,683,465381,6363031825500,4417
675,384,549301,21636677,781338760,5
557,6606,228722742,81703307376,310063128,77789,3
Средн.92,933101,0334,66712

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений.

Решение этих уравнений дает значения d11=5,233; d12=5,616.

1-e уравнение ПФМ имеет вид:

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую систему нормальных уравнений

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений, получим

Решение этой системы дает значения d21=9,288; d22=4,696.

2-е уравнение ПФМ имеет вид

Для перехода от ПФМ к СФМ найдем х2 из второго уравнения.

Подставив это выражение в 1-е уравнение, найдем структурное уравнение.

Т. о. b12=1,196; a11=-5,875.

Найдем х1 из 1-го уравнения ПФМ

Подставив это выражение во 2-е уравнение ПФМ, найдем структурное уравнение.

Т. о. b21=1,775; a22=-5,272

Свободные члены СФМ находим из уравнений

Линейныйрегрессия детерминация аппроксимация квадрат

Ответ: окончательный вид СФМ таков


Зараз ви читаєте: Уравнения линейной регрессии