Выполнение корреляционного и регрессионного анализа

Контрольная работа

По дисциплине “Эконометрика”

Студента гр. ВФ-108

Звягиной Марии Михайловны

Раздел I. Практическая часть

Содержание заданий.

Задание 1

1. По исходным данным выполнить корреляционный анализ:

Таблица 9

Основные показатели работы грузовых автомобилей крупных и средних организаций автомобильного транспорта в 2006 году

Перевезено грузов, тыс. тоннРасходы, млн, руб
Владимирская594,6258,3
Брянская3178,9656,5
Белгородская523,8824,4
Воронежская2572,3220,1
Ивановская308,573,8
Костромская580,582,7
Рязанская203,765,4
Смоленская389,386,6
Тульская225,836,5
Ярославская693,4279,9

Основной задачей корреляционного анализа является – выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты. Показателем тесноты линейной связи является коэффициент корреляции r.

1.1. Построить корреляционное поле и предложить гипотезу о связи исследуемых факторов

Для трактовки линейной связи между переменной X (“Перевезено грузов”) и Y (“Расходы”) при помощи встроенных возможностей MicrosoftExcelпостроим поле корреляции заданной выборки наблюдений (диаграмма 1).

Корреляционный регрессионный анализ

Характер расположения точек на диаграмме позволяет сделать предварительный вывод о том, что связь между переменными прямая, т. е. увеличение одной из переменных ведет увеличению условной (групповой) средней другой.

Связь между переменными в диапазоне достаточно тесная, однако в диапазоне имеются точки выброса, т. е. точки, находящиеся на достаточно отдаленном расстоянии от общего массива точек. Им соответствуют данные по Брянской, Белгородской и Воронежской областям.

Диаграмма 1.

Сделаем предположения, что:

1. данные по Брянской области являются точкой выброса;

2. данные по Белгородской области являются точкой выброса;

3. данные по Воронежской области являются точкой выброса;

4. данные по Брянской и Белгородской областям являются точками выброса;

5. данные по Брянской и Воронежской областям являются точками выброса;

6. данные по Белгородской и Воронежской областям являются точками выброса

7. данные по Брянской, Белгородской и Воронежской областям являются точками выброса.

1.2. Определить коэффициенты корреляции

Для заданного массива переменных коэффициент корреляции r = 0,454 (рассчитан при помощи функции MicrosoftExcelКОРРЕЛ).

Коэффициент корреляции r > 0, следовательно, корреляционная связь между переменными прямая, что подтверждает предварительный вывод, сделанный в п.1.1.

Коэффициент корреляции r принял значение на отрезке [-1; 1], следовательно, мы можем оценить тесноту связи случайных величин, заданных массивами, при помощи шкалы Чеддока:

Теснота связиЗначение коэффициента корреляции при наличии:
Прямой связиОбратной связи
Слабая0,1 – 0,3(-0,1) – (-0,3)
Умеренная0,3 – 0,5(-0,3) – (-0,5)
Заметная0,5 – 0,7(-0,5) – (-0,7)
Высокая0,7 – 0,9(-0,7) – (-0,9)
Весьма высокая0,9 – 0,99(-0,9) – (-0,99)

Коэффициент корреляции r принадлежит интервалу (0,3; 0,5), следовательно, связь между переменными умеренная.

Рассчитаем коэффициенты корреляции, исключая данные по субъектам РФ согласно выдвинутым предположениям:

r = 0,116
r = 0,821
r = 0,578
r = 0,511
r = 0,455
r = 0,949
r = 0,824

Анализ полученных коэффициентов показывает, что предположение 5 верно, т. е. данные по Брянской и Белгородской областям являются точками выброса (исключение точек, соответствующих указанным субъектам РФ, из корреляционного поля не повлекло за собой значительного изменения коэффициента корреляции). Все остальные предположения считаем неверными. Кроме того, отмечается значительное увеличение тесноты связи между переменными при исключении из корреляционного поля точек, соответствующих данным по Белгородской и Воронежской областям (предположение 6), и ее значительное уменьшение при исключении данных по Брянской области.

1.3. Оценить статистическую значимость вычисленных коэффициентов корреляции

Оценку статистической значимости коэффициентов корреляции будем проводить при помощи t-критерия Стьюдента на уровне значимости α= 0,05.

Парный двухвыборочный t-тест для средних
r = 0,454
Переменная 1Переменная 2
Среднее927,08258,42
Дисперсия1101362,74673524,47289
Наблюдения1010
Корреляция Пирсона0,454062283
Гипотетическая разность средних0
Df9
T-статистика2, 208751921
P (T<=t) одностороннее0,027278104
T критическое одностороннее1,833112923
P (T<=t) двухстороннее0,054556208
T критическое двухстороннее2,262157158

Расчетное значение критерия Стьюдента tр = 2,21 меньше критического tКРИТ = 2,306 (взято из таблицы t-распределений Стьюдента при числе степеней свободы n -2= 8 и величине погрешности α= 0,05), из чего делаем вывод о незначимости коэффициента корреляции.

Так как исключение данных по Брянской и Белгородской областям согласно ранее проведенному анализу не значительно влияет на коэффициент корреляции, то при нахождении t-критерия Стьюдента для выборки исходных данных при предположении 5 получим практически аналогичный результат.

Парный двухвыборочный t-тест для средних
r = 0,455
Переменная 1Переменная 2
Среднее696,0125137,9125
Дисперсия607399,87559534,678393
Наблюдения88
Корреляция Пирсона0,510547416
Гипотетическая разность средних0
Df7
T-статистика2,149664636
P (T<=t) одностороннее0,034323806
T критическое одностороннее1,894578604
P (T<=t) двухстороннее0,068647613
T критическое двухстороннее2,364624251

Расчетное значение критерия Стьюдента tр = 2,15 меньше критического tКРИТ = 2,45 (взято из таблицы t-распределений Стьюдента при числе степеней свободы n -2= 6 и величине погрешности α= 0,05). Коэффициент корреляции незначим.

1.4. Сделать итоговые выводы.

Между показателями работы грузовых автомобилей крупных и средних организаций автомобильного транспорта в 2006 году существует умеренная статистическая взаимосвязь. Для проведения анализа данные по Брянской и Белгородской областям можно не учитывать.

Задание 2

2. По исходным данным выполнить регрессионный анализ:

2.1. Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии;

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

,

Где – оценка условного математического ожидания y ;

B 0 , b 1 – эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

Эмпирические коэффициенты регрессии b 0 , b 1 будем определять с помощью инструмента Регрессия MS Excel.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R0,454062283
R-квадрат0, 206172557
Нормированный R-квадрат0,106944127
Стандартная ошибка991,7552465
Наблюдения10
Дисперсионный анализ
dfSSMSFЗначимость F
Регрессия12043636,9652043636,9652,0780,187
Остаток87868627,751983578,469
Итого99912264,716
КоэффициентыСтандартная ошибка
Y-пересечение472,939444,546
Переменная X 11,7571,219

Таким образом, эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны b 0 = 472,94, b 1 = 1,76.

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающей объемы перевозимых грузовыми автомобилями крупных и средних организаций автомобильного транспорта в 2006 году, y с величиной расходов на перевозку x, имеет вид:

2.2. Дать с помощью общего (среднего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом

Оценим тесноту статистической связи между расходами на перевозки, производимые грузовыми автомобилями крупных и средних организаций в 2006 году, x и их объемами y. Эта оценку производится с помощью коэффициента корреляции rxy.

Величина этого коэффициента рассчитана в п.1.2 и равна r = 0,454. Как говорилось выше, связь между переменными умеренная прямая.

Параметр R-квадрат представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy 2 и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией (объясняющей переменной x ).

Соответственно величина 1 – rxy 2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Таким образом, доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 1 – 0, 206 = 0,794 или 79,4%. Степень связи объясняющей переменной x с зависимой переменной y определяется при помощи коэффициента эластичности, который для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

.

Тогда

Следовательно, при изменении величины расходов на грузоперевозки на 1% их объем изменяется на 0,49%.

2.3. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации оценивается по зависимости:

Для этого исходную таблицу дополняем двумя колонками, в которых определяем значения, рассчитанные с использованием зависимости и значения разности .

Перевезено грузов, тыс. тоннРасходы, млн, руб
Владимирская594,6258,3926,8690,559
Брянская3178,9656,51626,6560,488
Белгородская523,8824,41921,7202,669
Воронежская2572,3220,1859,7370,666
Ивановская308,573,8602,6330,953
Костромская580,582,7618,2740,065
Рязанская203,765,4587,8711,886
Смоленская389,386,6625,1280,606
Тульская225,836,5537,0831,379
Ярославская693,4279,9964,8280,391
Сумма = 9,662

Средняя ошибка аппроксимации составляет:

Практически полагают, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12-15% для грубого приближения регрессии к реальной зависимости. В нашем случае ошибка чрезмерна велика.

Воспользуемся результатами исследования, проведенного в п.1, т. е исключим из рассматриваемой выборки данные по Брянской и Белгородской областям.

В этом случае уравнение парной регрессии примет вид:

.

Доля неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных составит: 1 – 0,260 = 0,74 или 74%.

Коэффициент эластичности составит:

,

А средняя ошибка аппроксимации:

Исключение точек выброса из рассматриваемой выборки снизило ошибку аппроксимации, однако ее значение превышает допустимое значение.

2.4. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью критерия Стъюдента и F-критерия Фишера.

Проведем более строгую оценку статистической надежности моделирования с помощью F-критерия Фишера.

Для этого проверим нулевую гипотезу H 0 о статистической незначимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия (F ) больше его критического значения (FКРИТ ), то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Расчетное значение F, определенное с помощью инструмента Регрессия MS Excel, составило F = 2,078.

Критическое значение FКРИТ определим при помощи статистической функции FРАСПОБР. Входными параметрами функции является уровень значимости (вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для модели парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n – 2 = 10 – 2 = 8.

FКРИТ = 5,318.

Расчетное значение F = 2,078 меньше критического FКРИТ = 5,318, поэтому нулевая гипотеза H 0 о статистической незначимости уравнения регрессии принимается, что подтверждает вывод, сделанный в п.2.3.

При расчете критериев Фишера для сокращенной выборки (исключая данные по Брянской и Белгородской областям) получаем аналогичный результат.

F = 2,115< FКРИТ = 5,987.

2.5. Сделать итоговые выводы.

1. Уравнение парной линейной регрессии, связывающее объемы перевозимых грузовыми автомобилями крупных и средних организаций автомобильного транспорта в 2006 году, y с величиной расходов на перевозку x, имеет вид:

При этом доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 79,4%, т. е. учтенными остаются лишь 20,6 % параметров.

Величина коэффициента эластичности говорит о том, что при изменении величины расходов на грузоперевозки на 1% их объем должен измениться на 0,49%.

Расчет средней ошибки аппроксимации (А = 96,62 %), а также анализ при помощи критерия Фишера показал, что полученное уравнение регрессии не соответствует реальной зависимости (в силу большой доли неучтенных в зависимости параметров).

2. Уравнение парной линейной регрессии для выборки исходных данных, исключающей данные по Брянской и Белгородской областям, которые по результатам выполнения задания 1 признаны точками выброса, имеет вид:

При этом доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 74%.

Величина коэффициента эластичности говорит о том, что при изменении величины расходов на грузоперевозки на 1% их объем должен измениться на 0,81%.

Расчет средней ошибки аппроксимации (А = 56,25 %), а также анализ при помощи критерия Фишера показал, что полученное уравнение регрессии также не соответствует реальной зависимости (в силу большой доли неучтенных в зависимости параметров).

Результаты регрессионного моделирования не надежны.


Зараз ви читаєте: Выполнение корреляционного и регрессионного анализа