Зно математика 2007 с ответами


МАТЕМАТИКА

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ

Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:

– відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;

– рівень навчальних досягнень учнів;

– ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних

закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.

При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.

Частина 1

ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ

Розташуйте у порядку спадання числа ; ; .

АБВГД
; ; ; ; ;; ; ; ;;

Правильна відповідь: А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.

Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

АБВГД
11501050950850750

Правильна відповідь: Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.

З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

АБВГД

Правильна відповідь: В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.

Розв’яжіть нерівність

АБВГД

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.

Знайдіть область визначення функції .

АБВГД

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.

Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.

АБВГД
4145546881

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.

Обчисліть .

АБВГД
12

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.

Розв’яжіть рівняння tg=

АБВГД
+Інша відповідь

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к і b. Оберіть правильне твердження.

АБВГД

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.

Укажіть парну функцію.

АБВГД

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.

Обчисліть

АБВГД

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості логарифма.

Розв’яжіть нерівність .

АБВГД
(0; 10)(0,1; 10)(−10; 0)

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.

Розв’яжіть рівняння

АБВГД

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння .

АБВГД
ЖодногоОдинДваТриБільше трьох

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.

Знайдіть первісну функції , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

АБВГД

Правильна відповідь : Б.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.

16. На рисунку зображений графік функції та дотичні до нього в точках та . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .

АБВГД
1

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.

Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В.

АБВГД
30о40о50о60о70о

Правильна відповідь : Д.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.

Точка М – середина сторони квадрата АВС D. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 . Знайдіть площу всього квадрата.

АБВГД
14 21 28 35 42

Правильна відповідь : В.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.

Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки і .

АБВГД
Інша відповідь

Правильна відповідь : А.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.

Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см.

АБВГД

Правильна відповідь : Г.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.

Частина 2

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ

Обчисліть

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Правильна відповідь : 144.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.

Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності

Правильна відповідь : .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

На перегоні, довжина якого дорівнює , поїзд рухався зі швидкістю на

10 менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?

Правильна відповідь : 60

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.

Обчисліть

Правильна відповідь : 0,5

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.

Розв’яжіть рівняння . У відповідь запишіть суму коренів.

Правильна відповідь : 11 (або 8).

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.

Примітка. Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.

Розв’язання.

Знайдемо область визначення:

Рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

звідси:

Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.

Розв’яжіть систему рівнянь

Запишіть у відповідь добуток , якщо пара є розв’язком вказаної системи рівнянь.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Правильна відповідь : 32.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.

Обчисліть

Правильна відповідь : 4.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь має два розв’язки.

Правильна відповідь : 1.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.

Знайдіть найбільше значення функції на проміжку .

Правильна відповідь : 2.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.

Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння має корені.

Правильна відповідь :

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.

Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний

добуток .

Правильна відповідь : 12,5.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3 . Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?

Правильна відповідь : 405.

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.

35 . Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2См і нахилена під кутом До площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Правильна відповідь : 12 .

Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.

Частина 3

ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD ( S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.

Правильна відповідь : .

Розв’язання (авторський варіант)

Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо .

Діагональ АС квадрата АВС D дорівнює , тому середня лінія MN = .

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .

З прямокутного трикутника .

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = .

З прямокутного трикутника .

Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

.

Відповідь. .

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обгрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND ( DM= DN) учень одержує ще 1 бал.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

– Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обгрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обгрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.

2. За обгрунтування того, що учень одержує ще 1 бал.

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

– Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильне обгрунтування висоти SO учень одержує 1 бал.

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал.

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал.

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.

37. Побудуйте графік функції .

Розв’язання

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність Отже, .

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння , звідки .

Якщо , то .

Якщо , то .

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Схема оцінювання

1. За правильно знайдене учень одержує 1 бал.

2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує 1 бал.

3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку , то він одержує ще 1 бал.

4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.

38. Розв’яжіть нерівність .

Правильна відповідь: при ;

при ;

при .

Розв’язання

Визначимо область допустимих значень параметра а : .

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність .

.

Якщо , то розв’язком першої нерівності даної системи буде . Тоді розв’язком нерівності буде при <<1. Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд при <<1. Якщо То розв’язком нерівності буде , а нерівність не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Розглянемо нерівність .

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, .

1. Якщо , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо то розв’язком нерівності буде . Тоді розв’язком нерівності буде . Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд .

3. Якщо , то одержимо нерівність , звідси .

Отже, загальна відповідь: при ;

при ;

при .

Схема оцінювання

Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

– Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал. За правильно знайдені нулі функції ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.

Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал.

За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали.

Якщо учень розглянув один з випадків або , то він одержує лише 1 бал.

За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.

– Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: , а= 1, , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:

Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує1 бал. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали. Якщо учень дослідив випадок і одержав відповідь, то він одержує2 бали. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.

Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.



Зараз ви читаєте: Зно математика 2007 с ответами